Pois muito bem, voltemos então ao quadrado mágico de Dürer que aparece em sua famosa gravura “Melencolia I” datada de 1514 e mostrada na coluna anterior. Primeiro vejamos como ele se parece ao natural, sem as imperfeições da ampliação de um trecho da gravura original. Aí está o Quadrado de Dürer em todo o seu esplendor na Figura 1.
Antes de conferir as somas, olhe um pouco para ele observando-o com atenção. Repare na posição dos números. Notou que ele obedece a um padrão de construção?
Sim, obedece. E é justamente por isso que não se presta à função que lhe emprestou Dan Brown em seu livro “O Símbolo Perdido”: servir como base para criptografar uma mensagem. Elementos que obedecem a padrões são péssimos para esse fim.
E então, já descobriu? Eu descobri quando procurava um método mnemônico para memorizar os números do quadrado (sim, o quadrado de Dürer me fascinou tanto que resolvi mantê-lo em minha memória). Aí está ele marcado por setas na própria Figura 1 (siga as setas na ordem A, B, C, D)
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Figura 1: Quadrado mágico de Dürer e seu padrão de construção. |
Como se vê há um caminho lógico que obedece a um padrão regular e simétrico que se forma ao percorrer os números de um a 16.
Será que Dürer usou este padrão? (acredito que não e logo veremos porque).
Agora, vamos examinar onde encontramos o número mágico no quadrado de Dürer. Sendo ele um quadrado pan-mágico, é fácil descobrir que o número mágico se manifesta somando os elementos das linhas, colunas, diagonais e diagonais quebradas.
O problema é que, por estranho que pareça, no quadrado de Dürer há uma exceção. Os elementos das diagonais quebradas tipo 3+1 (assinaladas na Figura 2, juntamente com sua soma) não totalizam o número mágico 34. Não obstante, ele apresenta outras características que o tornam ímpar entre os demais quadrados mágicos, de modo que vamos deixar passar essa pequena imperfeição.
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Figura 2. |
São, ao todo, 14 combinações. Aí está a Figura 3 mostrando isto. E, como para bom entendedor me pala bas, omiti os valores das somas (afinal, ela será sempre 34 e quem duvidar pode conferir) e mostrei apenas as linhas através das quais as adições são feitas. Sem nenhuma novidade, posto que são as mesmas mostradas no quadrado pan-mágico da Figura 9 da coluna anterior com exceção das diagonais quebradas 3+1. Aí está a figura.
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Figura 3: Quadrado de Dürer, suas linhas e diagonais. |
Mas, evidentemente, nada disto basta para que consideremos o quadrado de Dürer tão espantoso. Ele precisa fazer mais, muito mais que isso. Então, vamos procurar dentro dele padrões regulares cuja soma dos elementos neles contidos resulte sempre no número mágico 34.
Primeiro, vamos subdividi-lo em quadrados de quatro elementos. No interior de um quadrado de 4 x 4 podem se desenhar cinco quadrados menores, de 2 x 2. São os marcados em cores diferentes na Figura 4, a saber, um em cada “canto” e um exatamente no meio. Se quiser perder tempo, some os elementos no interior de cada quadrado mas não se surpreenda se o resultado for sempre 34. E temos aí mais cinco combinações.
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Figura 4: quadrados internos. |
Mas isso é pouco (se você quiser perder tempo, verificará que todos os quadrados pan-mágicos exibidos na coluna anterior também têm esta propriedade). Então vamos adiante. Repare na Figura 4 e veja quantos elementos estão incluídos em apenas um dos quadrados internos (ou seja, aqueles que estão fora do quadrado vermelho). Podemos agrupá-los em três conjuntos (aos quais, se incluirmos o quadrado vermelho, chega-se novamente a um total de quatro grupos). Estes conjuntos são formados pelos quatro cantos do quadrado de Dürer, pelos dois elementos centrais da linha superior e os dois da linha inferior, assim como pelos dois elementos centrais da coluna esquerda e os dois da coluna direita. Eles estão mostrados recobertos pela mesma cor na Figura 5. Será que, se você somar os elementos recobertos com a mesma cor, se surpreenderá ao encontrar sempre a soma 34? E com isso chegamos a um total de 22 diferentes conjuntos de elementos cuja soma resulta no número mágico,
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Figura 5: Elementos dos cantos e das laterais. |
Mas se você se der ao trabalho de verificar verá que o mesmo ocorre em todos os quadrados pan-mágicos da coluna anterior. Então vale a pergunta: se é assim, o que tem o quadrado de Dürer que o torna tão especial?
Bem, é que, tanto quanto eu saiba, as propriedades comuns aos quadrados pan-mágicos acabam aqui. Já no quadrado de Dürer, praticamente qualquer padrão lógico que combine quatro a quatro seus elementos de uma forma simétrica ou regular leva ao mesmo resultado: a soma destes quatro elementos é igual ao número mágico.
Por exemplo: percorra a borda do quadrado no sentido horário e marque cada segundo elemento a partir do canto (assinalados em verde na Figura 6). Depois, faça o mesmo no sentido oposto (assinalados em carmim na mesma figura). Você terá assinalado os oito elementos marcados na Figura 6 cuja soma, naturalmente, você já adivinhou: 34 . São mais duas combinações de elementos que, somadas às 22 anteriores, resulta em um total de 24 combinações.
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Figura 6: Quadrado de Dürer - Elementos alternados nas bordas laterais. |
Mas isto não é tudo. Vamos tentar outro padrão. Tomemos agora os quatro elementos em cruz assinalados em azul na Figura 7 e sua configuração simétrica, os outros quatro elementos assinalados em laranja. Talvez alguém se sinta tentado a alegar que neste caso eu estou forçando uma simetria meio torta, já que a haste vertical da cruz formada por cada conjunto de quatro elementos é maior que a horizontal – mas neste caso, convém esperar pelo próximo padrão. Porém, seja como for, tanto a soma dos quatro elementos assinalados em azul como a dos quatro assinalados em laranja é – adivinhou? 34. E chegamos às vinte e seis combinações.
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Figura 7: Quadrado de Dürer – cruzes “em pé”. |
Pois bem, quem achou exagero considerar a configuração em cruz da Figura 7 como um padrão “regular” ou “simétrico” devido à discrepância entre os tamanhos das hastes, certamente encontrará a simetria que faltava ao consultar a Figura 8 com seus dois conjuntos de quatro elementos assinalados em verde e carmim e comparar com a anterior. Pois o que se vê em ambas as figuras é exatamente o mesmo padrão, porém espelhado verticalmente, como se as cruzes estivessem “invertidas”. O que, juntando as duas configurações, indubitavelmente configura um padrão regular e simétrico. E, ça va sans dire, tanto a soma dos quatro elementos assinalados em verde quanto a dos quatro assinalados em carmim monta a 34. E chegamos, enfim, ao total de vinte e oito diferentes conjuntos de quatro elementos que somam 34.
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Figura 8: Quadrado de Dürer: cruzes invertidas. |
Agora talvez fique claro porque o quadrado de Dürer tanto me fascinou. Praticamente qualquer configuração de quatro elementos que obedeça a um padrão regular ou simétrico resulta em uma soma igual ao número mágico. No quadrado de Dürer, entre linhas, colunas, diagonais e combinações diversas, contamos 28 diferentes arranjos cuja soma dos elementos resulta neste total (procure, talvez você encontre mais; nem todos os que eu mostrei acima constam da literatura consultada por mim, alguns eu mesmo “descobri” fuçando o quadrado).
E encontrar vinte e oito combinações em um quadrado onde há apenas dezesseis elementos é algo que me parece verdadeiramente assombroso. Quase um milagre da criatividade e do engenho humanos.
Mas será mesmo? Ou Dürer conhecia alguma “receita” para criar quadrados mágicos?
E a pergunta que se impõe: será que existem tais receitas?
Sim, existem e a literatura – o que inclui a Internet – está cheia delas. Pois, como seria de esperar, o tema é ricamente explorado pela rede (experimente fazer uma pesquisa no Google ou outro dispositivo de busca com a expressão “magic square” e assuste-se: a que fiz gerou 112 milhões de retornos). No meio disso tudo, evidentemente, há uma enxurrada de bobagens e inutilidades (agora engrossada com estas colunas). Mas há algumas pérolas. A mais preciosa, segundo meu juízo, é a encontrada em um sítio curiosíssimo, o < http://www.grogono.com/index.php > sítio da família Grogono, uma curiosa família radicada em Savannah, Georgia, EUA. Tem de tudo (inclusive uma galeria com 1547 fotos e, a julgar por elas, a família enfrentou um furacão ou algo parecido recentemente). E tem toda uma seção dedicada aos quadrados mágicos. Uma seção primorosa, diga-se de passagem. O que encontrei de melhor sobre o assunto na Internet (se estas colunas despertaram seu interesse pelo assunto e você deseja mais informações, este me parece o melhor ponto de partida; bom proveito).
Foi nele que achei a “receita” que me pareceu mais interessante para criar quadrados mágicos pela diversidade de quadrados que permite gerar.
Senão, vejamos (e se você não é versado nas ciências matemáticas não se assuste com a terminologia, o que interessa é o conceito e este, acredite, é muito simples).
Segundo o sítio, todos os quadrados mágicos de ordem quatro podem ser montados como se fossem uma dessas colchas ou tapetes criados costurando pedaços quadrados de crochê (esse treco tem um nome, mas não lembro qual seja). Em suma: são montagens. E, para que ninguém diga que a coisa é complicada, todas as montagens são feitas a partir da combinação de apenas quatro matrizes 4x4 cujos elementos contêm apenas valores “um” ou “zero” em uma determinada disposição.
Para montar um quadrado mágico (e foi assim que montei todos os citados na coluna anterior) basta multiplicar cada matriz (ou seja, todos os elementos da matriz) por um dos fatores de 16 e somar. O que não é complicado, já que 16 admite apenas quatro fatores: oito, quatro, dois e um.
As matrizes são as mostradas na Figura 9 onde os elementos ocupados pelo valor “um” estão destacados apenas para facilitar a análise.
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Figura 9: Matrizes base para construção de quadrados mágicos. |
Mr. Grogono as batizou de “S”, “C”, “A” e “N” porque, segundo ele (mas com muita boa vontade mesmo, especialmente nos casos do “C” e do “A”) a disposição dos valores “um” nas matrizes lembra o formato dessas letras. Mas, lembrando ou não, sempre é um método mnemônico interessante de identificá-las.
Um exame superficial mostra que elas são obtidas umas das outras por rotação ou transposição. Por exemplo: pode-se obter a matriz “A” a partir da “S” trocando as posições (transpondo) da segunda e terceira colunas desta última e depois trocando novamente a terceira com a quarta (experimente; mas se não quiser experimentar, deixe pra lá que isso não tem nenhuma importância para o método, é só uma curiosidade). A matriz “C” pode ser obtida através de uma rotação da matriz “A” de 90 graus no sentido anti-horário. E a matriz N pode ser obtida através de uma rotação idêntica da matriz “S” seguida de um espelhamento em torno do eixo horizontal. Mas, como eu disse, nada disso importa. O que importa é como usar as matrizes.
Nada mais simples: tome cada uma delas, multiplique todos os seus elementos por um dos fatores de 16 e some as quatro matrizes. Os fatores podem ser escolhidos em qualquer ordem. E as multiplicações são de uma simplicidade franciscana (nada mais fácil que multiplicar por “um” ou por “zero”). Portanto, mas simples impossível.
Veja, na Figura 10, um exemplo dos passos necessários para criar um quadrado pan-mágico de quarta ordem.
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Figura 10: gerando um quadrado pan-mágico. |
Escolhi os fatores na ordem 8-4-2-1 (mas poderia ser qualquer outra, como 2-8-1-4, por exemplo) e multipliquei cada matriz por seu fator. As quatro matrizes resultantes desta multiplicação são as quatro da esquerda da parte inferior da figura. A última nesta mesma linha é a soma dos quatro produtos (ou seja, a soma dos quatro elementos situados na mesma posição em cada matriz produto), que resulta em uma matriz quadrada que, como mostram as somas de suas linhas, colunas e diagonais, é um quadrado mágico de quarta ordem mas com origem em “zero”. O quadrado situado acima dele foi obtido simplesmente somando “um” a cada elemento do de baixo. O resultado é um quadrado pan-mágico tradicional (com origem em “um”).
Todos os quadrados mágicos usados como exemplo na coluna anterior foram montados usando esta técnica, apenas trocando a ordem dos fatores adotados para multiplicar as matrizes originais. Como se vê, nada mais fácil que criar um quadrado pan-mágico.
Mas dá para notar que, ao contrário do quadrado de Dürer, a disposição dos elementos deste quadrado não obedece a qualquer padrão. Parece que eles foram jogados ao acaso em cada posição.
Por outro lado, como eu disse, há mais de uma “receita” para gerar quadrados mágicos e a oferecida pelo sítio da família Grogono é apenas uma delas.
A Wikipedia (edição em inglês), em seu < http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square > longo artigo sobre quadrados mágicos, sugere uma forma alternativa de gerar quadrados mágicos de quarta ordem. E uma forma que nos interessa mais que todas as demais (e logo você perceberá porque).
O método é simples, tipo “receita de bolo”. Consiste no seguinte:
Desenhada a estrutura dos 16 elementos que compõem o quadrado, comece preenchendo elemento por elemento, da esquerda para a direita e de cima para baixo, começando no número “um” e seguindo com números sucessivos, mas preencha apenas os números cujas posições caiam sobre uma das diagonais, “pulando” os que caírem fora. O resultado é um quadrado parcialmente preenchido, com o aspecto daquele mostrado à esquerda da Figura 11.
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Figura 11: Construção de um quadrado mágico de quarta ordem. |
Agora vamos preencher as posições vazias, ainda de cima para baixo e da esquerda para a direita. Mas vamos começar na ordem inversa, ou seja de 16 para “um”, porém desprezando os números que já foram usados no primeiro passo. Parece complicado mas não é. Veja: a primeira posição vazia é a segunda posição da linha superior. Devemos, portanto, começar por ela. E como partimos de dezesseis em ordem decrescente, ela deveria conter justamente o número 16. Mas atenção: este número já foi “usado” – repare que ele está no canto inferior direito do quadrado. Passemos então para o imediatamente inferior, o número 15. Está disponível? Sim, tanto ele quanto o 14, que vamos usar para preencher as duas posições livres da primeira linha. O próximo número disponível na ordem descendente é o 12 (o 13 já ocupa o canto inferior esquerdo). Seguimos com ele na primeira posição da segunda linha e, na última (a próxima posição livre), entramos com o 9, próximo número disponível. E continuamos assim preenchendo sucessivamente as posições seguintes com o 8, seguido do 5, depois do 3 e 2 nas duas posições livres da linha de baixo. E aí está nosso quadrado mágico (verifique: pan-mágico) de quarta ordem.
Agora, vamos brincar um pouco com ele para ver onde chegamos. Tentemos fazer operações com a matriz que não alterem a soma dos elementos contidos nem nas linhas, nem nas colunas e nem nas diagonais. Uma delas é a transposição, ou simples troca de linhas ou colunas. Mais especificamente, vamos intercambiar a primeira coluna com a última e verificar se com isso o quadrado deixou de ser mágico efetuando a soma das linhas.
Esta transformação faz com que o quadrado mágico que acabamos de gerar, exibido à esquerda da Figura 12, se converta no quadrado do meio da mesma figura. Que, como se pode verificar pela soma de suas linhas, colunas e diagonais (efetuadas no Excel), continua sendo um quadrado pan-mágico de quarta ordem.
Agora, vamos fazer a segunda transformação. Um espelhamento sobre o eixo horizontal (uma maneira complicada de dizer que as linhas trocarão de posição, a primeira com a quarta, a segunda com a terceira). O resultado aparece no quadrado da direita da figura 11, que como se vê pelos totais continua pan-mágico.
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Figura 12: Transformações no quadrado mágico. |
Pan-mágico e um bocado familiar...
Reconhece?
Pois não é que aí está o quadrado de Dürer, com o ano em que foi criado (1514) no meio da linha inferior e tudo o mais?
Então diga-me lá: Dürer criou seu quadrado em um rasgo de genialidade partindo do nada ou simplesmente conhecia a “receita”, aplicou-a para criar o quadrado da esquerda e depois usou os rudimentos de cálculo matricial para fazer as duas transformações que levassem o “1514” para o meio da linha de baixo?
Jamais saberemos...
B.
Piropo
