Sítio do Piropo

B. Piropo

< Coluna em Fórum PCs >

08/01/2007

< Um número muito especial II: >
< Criando coelhos >

Seu nome era Leonardo, filho de Guglielmo. Seu pai era um homem tão bem-humorado que tornou-se conhecido por “Bonacci”, uma palavra que gerou em português o termo “bonachão”. Por isso, depois de sua morte, Leonardo passou a ser conhecido também por “Fibonacci”, que significa “figlio Bonacci”, “o filho de Bonacci”. Você encontrará ainda citações que se referem a ele pelo nome de “Leonardo Bigollo” (termo toscano usado para designar “viajante” e logo você verá por que), “Leonardo Pisano” ou “Leonardo de Pisa”, por haver nascido em Pisa em plena Idade Média, provavelmente em 1170, a mesma Pisa de cuja torre inclinada seu conterrâneo Galileu três séculos mais tarde deixaria cair duas esferas de massas diferentes e, ao constatar que chegavam ao solo no mesmo instante, demonstraria que a velocidade com que um corpo cai independe de sua massa, contrariando Aristóteles que afirmava o contrário. Mais isso é uma mera divagação que nada tem a ver com Fibonacci, sobre quem sabe-se surpreendentemente pouco para um homem de tamanha importância para as ciências matemáticas e cujo nome é citado com tanta freqüência três quartos de milênio após sua morte.

Sabe-se, por exemplo, que Leonardo viveu até 1250, atingindo idade avançada para os tempos medievais. Ainda jovem, viajou até o Norte da África e viveu por alguns anos na cidade de Bugia (atualmente Bejaia, na Argélia), onde seu pai trabalhou como cônsul da República de Pisa (“Il Risorgimento”, ou a unificação da Itália, apenas sobreveio no século XIX; na idade média as cidades que hoje a formam eram comunas ou repúblicas independentes).

Na época em que viveu Fibonacci todo o Norte da África e parte da Europa (inclusive a Península Ibérica) estavam sob dominação árabe. As funções oficiais de Guglielmo Bonacci eram ligadas à alfândega e, portanto, ao comércio internacional. O que fez com que ele e seu filho Leonardo se enfronhassem nas artes dos cálculos matemáticos. Algo relativamente simples não fora por um detalhe: em Pisa, ainda por influência do velho Império Romano, usava-se a notação numérica que hoje conhecemos por “algarismos romanos”, enquanto no Norte da África já se usava o “modus Indorum”, ou “método dos hindus”, a notação trazida da Índia pelos árabes, aquela que por esta razão conhecemos por “algarismos arábicos” e passamos a usar no sistema numérico posicional de base dez, o “sistema decimal”.

O prezado leitor já se dedicou alguma vez na vida a efetuar cálculos utilizando a notação romana? Experimente. Uma continha simples, uma bobagem. Digamos: sua idade, subtraindo o ano em que você nasceu do ano atual. Pegue o lápis e anote aí: MMVII, o Ano da Graça em que estamos. Agora exprima o ano de seu nascimento em algarismos romanos. Não sabe? Use o meu: MCMXXXIX (você pensava que eu era mais novinho, nénão?). Então, vamos nessa: escreva o último número logo abaixo do primeiro e faça a subtração. Mas lembre: sem converter para a notação arábica.

Sei não, mas acho que se depender dessa conta minha idade continuará a ser um mistério para você...

Percebeu a dificuldade? Pois Leonardo também (e se você não percebeu ou não sabe exatamente o que é um sistema numérico posicional, dê-me a honra de uma visita a meu Sítio, vá até a seção < http://www.bpiropo.com.br/escritos.htm > “Escritos”, clique no botão “Microcosmo”, o nome de uma velha coleção de colunas que publiquei no século passado, e leia a coluna “Fazendo conta”, de 16/01/1995; aposto que achará muito interessante).

Pois Leonardo achou a notação numérica usada pelos árabes tão mais simples e, sobretudo, o uso de seu sistema numérico posicional tão mais fácil, que dedicou toda a juventude a seu estudo, viajando pela África e Europa Mediterrânea para manter contato com os mais eruditos matemáticos do mundo Árabe e enfronhar-se nos mistérios da obra de Al-Khwarismi (qualquer semelhança com o termo “algarismo” não é mera coincidência), apenas retornando a Pisa no ano de 1200. Dois anos depois, aos 32 de idade, publicou o “Liber Abaci” (o livro dos cálculos), obra que fez com que fosse considerado por muitos como o matemático mais talentoso da Idade Média.

Figura 1: Leonardo de Pisa, o “Fibonacci”.

Sobre seu livro, diz o próprio Fibonacci: “seguindo rigorosamente o método dos Hindus (‘modus Indorum’) e tendo muito sofrido para estudá-lo, acrescentando algumas coisas de minha própria autoria e agregando também certos conhecimentos das sutilezas da arte da Geometria Euclidiana, eu me esforcei para escrever este livro em sua totalidade da forma mais compreensível que consegui...” (embracing more stringently that method of the Hindus, and taking stricter pains in its study, while adding certain things from my own understanding and inserting also certain things from the niceties of Euclid's geometric art, I have striven to compose this book in its entirety as understandably as I could – do Verbete < http://en.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci > “Fibonacci” na Wikipedia).

E conseguiu mesmo. Pois com ele logrou o prodígio de introduzir o sistema numérico posicional de base dez na cultura Européia em plena Idade Média, considerada a “idade das trevas”. Quer dizer: se não fosse por Fibonacci, quem sabe você teria feito aquele cálculo lá de cima, já que talvez ainda estivéssemos usando a notação romana... (sim, sei que isso é um exagero já que não fosse Fibonacci cedo ou tarde algum matemático introduziria a notação arábica no mundo ocidental; mas serve para dar uma medida da importância de Leonardo Pisano para as ciências matemáticas modernas).

Uma peculiaridade do “Liber Abaci”: nele, pela primeira vez, aparece na literatura científica ocidental a menção ao “zero” (como um sinal, ou símbolo, não como um número, já que zero não é número). Diz Leonardo textualmente: “Os nove algarismos hindus são: 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1. Com estes nove algarismos e com o sinal 0... pode-se escrever qualquer número” (The nine Indian figures are: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. With these nine figures, and with the sign 0 ... any number may be written – Ainda da Wikipedia). Note que para a época tratava-se de um conceito absolutamente revolucionário que permitia usar o símbolo “0” para preencher uma posição decimal “vazia”, como no número “13027”, viabilizando o uso de sistemas numéricos posicionais.

Ao contrário de tantos gênios (e felizmente para ele), Leonardo teve sua importância reconhecida ainda em vida, tornando-se protegido do Imperador Frederick II (da dinastia Hohenstaufen, pretendente ao trono do antigo Império Romano), que dedicava atenção especial à matemática e às ciências. Em 1240, a República de Pisa lhe concedeu uma pensão vitalícia.

Fibonacci dedicou-se por toda a vida ao estudo da matemática com uma importante produção intelectual. Além da introdução da notação arábica na cultura ocidental deve-se a ele o estabelecimento da “Identidade de Fibonacci” (também conhecida por “Identidade de Brahmagupta”) que afirma que “o produto de dois números que são, cada um deles, a soma de dois quadrados é, por sua vez, a soma de dois quadrados” (mais informações na < http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta-Fibonacci_identity > Wikipédia).

Mas não foi qualquer uma destas façanhas que trouxe o ilustre nome de Fibonacci para esta humilde série de colunas. O que fez com que ele viesse parar aqui foi sua fictícia criação de coelhos. Sim, porque foi nosso amigo Fibonacci, justamente em sua obra mais conhecida, o “Liber Abaci”, que propôs o problema com o qual encerramos a coluna anterior.

Não lembra? Refresquemos nossa memória, então. O problema era o seguinte:

Partindo dos pressupostos abaixo:

1) um cavalheiro adquiriu um casal de coelhos recém nascidos;

2) este (e qualquer outro) casal de coelhos demora um mês exato para atingir a maturidade, tornando-se fértil e podendo reproduzir;

3) cada casal de coelhos fértil gera um casal de filhos a cada mês, aceitando-se cruzamentos consangüíneos;

4) o cavalheiro jamais se desfaz de seus coelhos que, por sua vez, nunca morrem;

Pergunta-se: ao final de doze meses quantos casais de coelhos o cavalheiro possuirá? E quantos possuía a cada mês?

Para traçar uma estratégia para a solução do problema, vamos reparar na Figura 2 que exibe a “árvore genealógica” dos coelhos até o quarto mês.

Figura 2: “árvore genealógica” até o quarto mês.

Antes que alguém proteste: sim, de fato não existe “mês zero”. Aquela linha está ali apenas para facilitar meu trabalho um pouco mais adiante. Mas como no hipotético “mês zero” o número de casais de coelhos também é zero, ela não interferirá no restante do raciocínio. Então, mãos a obra.

Na figura, um casal de coelhos recém nascido, portanto antes de atingir a maturidade e tornar-se fértil, é representado sem qualquer adereço. Mas a partir de um mês de nascido, quando já pode se reproduzir, a imagem do casal aparece circundada com uma tonalidade avermelhada. Do ponto de vista prático isso significa que apenas gerarão descendentes no mês seguinte os casais assim assinalados.

Agora, vamos acompanhar o crescimento da população de coelhos mês a mês. No primeiro mês (mês 1) temos apenas o casal recém adquirido, que ainda não atingiu a maturidade. População total do mês 1: um casal (não fértil).

Como no seu primeiro mês de vida este casal não pode se reproduzir, no mês seguinte a população total continuará a ser formada apenas por ele, que agora, porém, já está fértil e poderá se reproduzir no próximo mês. População total do mês 2: um casal (agora, fértil).

Já no terceiro mês a coisa é diferente. Repare na figura: o casal de coelhos representado na cor branca estava fértil no mês 2, portanto gerará um casal de filhos que se juntará a ele no mês 3. Este casal (representado na cor verde) sendo recém nascido, não estará fértil. População total do mês 3: dois casais (um fértil, um não).

Agora fica fácil entender o que acontece no mês 4: o único casal fértil (os coelhos brancos) gerará mais um casal de filhos (na figura, representados em vermelho). Mas o casal de coelhos representados em verde atinge à maturidade, elevando para dois o número de casais férteis. População no mês 4: três casais (dois férteis, um não).

Para desenhar mais um trecho da árvore genealógica basta lembrar que cada casal fértil gerará um novo casal de filhos (representado “puxando-se” uma linha vermelha de cada casal circundado com a tonalidade avermelhada que indica fertilidade, estendendo-a até o mês seguinte e desenhando um novo casal recém nascido em sua extremidade). E que como os coelhos não morrem, os casais existentes no mês anterior se repetem no mês seguinte, repetição esta que  é enfatizada na figura por linhas azuis (sempre lembrando que nesta passagem os recém nascidos passam a atingir a maturidade já que completam um mês).

A explicação parece complicada? Pois então acompanhe a figura 3, que mostra a árvore genealógica até o sétimo mês, que talvez ela se torne mais clara.

Figura 3: “árvore genealógica” até o sétimo mês.

Preste atenção na figura: de cada casal fértil (cercado por uma tonalidade avermelhada) sai uma linha azul que leva à representação do mesmo casal no mês seguinte e uma linha vermelha que acaba em um casal recém nascido no mês seguinte. E de cada casal de coelhos não fértil que existe em um mês sai apenas uma linha azul para indicar que ele se repete no seguinte (quando aparece já circundado com a tonalidade avermelhada para indicar que então ele já se tornou fértil). Com isto já se pode deduzir a “lei de formação” da seqüência numérica que representa o número de casais mês a mês.

E que lei é essa? Vamos deduzi-la. Tome um mês qualquer (por exemplo, o mês 5): sua população (cinco casais) é igual à população total do mês anterior (no caso, os 3 casais existentes no mês 4) somada aos recém nascidos naquele mês (ainda no caso, os dois casais nascidos no mês cinco).

Mas quantos casais recém nascidos haverá em cada mês? Igualmente simples: tantos quantos são os casais férteis no mês anterior (ainda tomando como exemplo o mês 5, note que havia dois casais férteis no mês 4). Mas atenção (e este ponto é crucial para entender a lei de formação!!!): o número de casais férteis no mês anterior corresponde exatamente ao número total de casais de dois meses antes (verifique: no mês 5 há dois casais recém nascidos, correspondentes á população total do mês 3; e isso se repete mês a mês: no mês 6 há três recém nascidos, correspondentes à população total do mês 4; e assim por diante...)

Agora ficou fácil calcular o número total de casais do mês 8, que não aparece na figura. E nem precisa: basta olhar para a Figura 3, contar o número de casais férteis no mês 7 (que é igual ao número total de casais do mês 6) e somar com o número total de casais do próprio mês 7. Vamos lá: total de casais do mês 7: 13 casais. Casais férteis no mês 7 (que é igual ao número total de casais do mês anterior, o mês 6): 8 casais. É fácil concluir então que no mês 8 teremos 13 + 8 = 21 casais.

Ora, então para se obter o número total de casais em um mês qualquer basta somar o número de casais dos dois meses que o precedem. Olhe para a figura 3 e veja se não tenho razão...

Pronto, encontramos a “lei de formação”, que pode ser expressa pela expressão algébrica: P(n) = P(n-1) + P(n-2), que equivale a dizer que “o número de casais de coelhos P(n) em um mês qualquer é igual à soma do número de casais do mês anterior P(n-1) com o número de casais do mês que o antecede, P(n-2)” (note que para obter a população total de coelhos em um dado mês basta multiplicar por dois o número de casais existentes naquele mês).

Agora que você sabe disso fica fácil resolver o problema proposto por Fibonacci. Basta continuar a calcular o número de casais mês a mês até o mês 12.

O número de casais no mês 9, P(9), será igual à soma de P(8) com P(7), 13 + 21 = 34.

Sempre aplicando a lei de formação da seqüência, o número de casais possuídos pelo hipotético cavalheiro do problema de Fibonacci nos meses seguintes será:

P(10) = P(9) + P(8) = (34 + 21) = 55 casais;

P(11) = P(10) + P(9) = (55 + 34) =89 casais e

P(12) = P(11) + P(10) = (89 + 55) = 144 casais.

O cavalheiro teria então um total de 144 casais ou 288 coelhos ao final de doze meses.

A evolução do número de casais (agora incluindo o zero) foi a seguinte:

0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89 e 144

uma seqüência (que, naturalmente, continua indefinidamente após o termo “144”) na qual cada termo é a soma dos dois anteriores. Seu nome é “seqüência de Fibonacci”, já que foi ele o primeiro a chamar a atenção dos matemáticos para sua existência.

Mas afinal, isso teria algum significado ou foi uma mera perda de tempo?

Se você pensa que o significado é pouco ou nenhum, que tudo isso não passa de um exercício teórico engenhoso proposto por um obscuro matemático medieval e que não tem qualquer importância ou aplicação prática no mundo moderno, prepare-se para uma surpresa e tanto...

Basta esperar pelas próximas colunas.

B. Piropo